Estudando Gráficos Simétricos

Uma figura simétrica é aquela que pode ser encaixada nos eixos de simetria onde todo ponto de um lado coincide exatamente com a imagem espelho ou  reflexão do outro lado.  Cada um dos seguintes gráficos é chamado simétrico em relação ao eixo-x.
a) 

b)

c) 

d) 

Definição:

    Um gráfico é simétrico em relação ao eixo-x se e quando o ponto (x, y) está no gráfico e o ponto
(x, - y) também está no gráfico.
 

Para cada gráfico a - d acima, escolha um par de pontos ilustrando que o gráfico é simétrico em relação ao eixo-x.

Respostas :

a) (-4, -2) e (-4, 2) e muitos outros
b) (2, -2) e (2, 2) e muitos outros
c) (0, -2) e (0, 2) e muitos outros
d) (0, -2) e (0, 2) e muitos outros

 Identifique o eixo de simetria para o gráfico que é simétrico em relação ao eixo- x.

Exercício 1

Utilizando-se dos gráficos que aparecerem logo abaixo , analise o gráfico para cada equação de e - g, e determine quando cada uma é simétrica em relação ao eixo- x. Explique sua resposta ?

Dica: Utilize o que você aprendeu em como manipular os gráficos.

e) 

f) 

g) 

Resposta:

e) Simétrico em relação ao eixo-x desde que (x, y) e (x, - y) estejam no gráfico.

f) Simétrico em relação ao eixo - x desde que (x, y) e (x, - y) estejam no gráfico.

g) Simétrico em relação ao eixo - x desde que (x, y) e (x, - y) estejam no gráfico.
 

Cada um dos seguintes gráficos é chamado simétrico em relação ao eixo - y.
 
 

h) 

i) 

j) 

k) 

Definição :

Um gráfico é simétrico em relação ao eixo- y se e quando o ponto (x, y) está no gráfico e o ponto (-x, y) também está no gráfico.

Para cada gráfico de h - k acima, escolha um par de pontos ilustrando que o gráfico é  simétrico em relação ao eixo - y.

RESPOSTA:

h) 

i) 

j) 

k) 
 

Identifique o eixo de simetria para o gráfico que é simétrico em relação ao eixo- y.

Analise o gráfico de cada uma das equações de l - o e determine quando é simétrica em relação ao eixo - x. Explique sua resposta?

l) 

m) 

n) 

o) 

RESPOSTAS

l) Simétrico em relação ao eixo- y desde que (x, y) e ( - x, y) pertençam ao gráfico.

m) Não é simétrico em relação ao eixo- y desde que ( - x, y) não pertença ao gráfico.

n) Simétrico em relação ao eixo - y desde que (x, y) e ( - x, y) pertençam ao  gráfico.

o) Simétrico em relação ao eixo- y desde que (x, y) e ( - x, y) pertençam ao  gráfico.

Os seguintes gráficos são chamados de simétricos em relação à sua origem.

p) 

q) 

Definição:

Um gráfico é simétrico em relação à sua origem se e quando o ponto (x, y) pertence ao gráfico e o ponto (-x, -y) também pertence ao gráfico.
 
 

Para cada gráfico p - q acima, escolha um par de pontos ilustrando que o gráfico é  simétrico em relação à sua origem.

Respostas:

p) 

q)
 

Analise cada equação de  r - s  e determine quando é simétrica em relação à sua origem. Explique sua resposta
r) 

> implicitplot(x*y = 4,x=-5..5,y=-20..20);

s) 

> implicitplot(abs(x)+abs(y) = 2,x=-3..3,y=-3..3,numpoints=1000);

Respostas:

r) Simétrico em relação à origem desde que ( x, y) e ( - x,  - y) pertençam ao gráfico.

s) Simétrico em relação à origem desde que (x, y) e ( - x,  - y) pertençam ambos ao gráfico.
 

 Estudando Funções Pares e Ímpares

Definição:

Uma função é par se  f(- x) = f(x) para todo x no domínio de f.  A função é ímpar se f(- x) = - f(x) para todo x no domínio de f.

Considere a função definida logo abaixo. Nela, a nossa variável independente x está assumindo um valor qualquer a.

Substitua o valor de a por 2 e -2. O que acontece ? Dica: Use seu Maple, definindo a função e achando seus respectivos valores.

     x = a
    f ( x ) = x ⁴  -  x ²
    f ( a ) = a ⁴  -  a ²

Você viu que para x = 2 o valor da função foi de f( 2 ) = 12 e para f( -2 ) = 12. A que conclusão podemos chegar sobre  a função f ? é ímpar ou par?

Um outro exemplo:

Considere a função s(x).Façamos o mesmo estudo para x assumindo os valores de 2 e -2. A que conclusão podemos chegar sobre a função s ? é par ou ímpar ?

     x = a
    s ( x ) = 6 x ³
    s ( a ) = 6 a ³
 

Considere a função t(x) definida logo abaixo.
         t ( x ) = x ² - 3
a. Calcule o valor de t para x = - 2 e x = 2 .

b. A que conclusão podemos chegar a respeito de t ? é ímpar ou par ?

Aprofundando Seus Conhecimentos

Explique quando a função g(x) = sin (x) é ímpar, par ou nem um nem outro.

        > g:=x->sin(x);

        > g(Pi/2);

        > g(-Pi/2);

Explique quando a função h(x) = cos (x) é ímpar, par ou nem um nem outro.

        > h:=x->cos(x);

        > h(Pi);